7-18 二分法求多项式单根

二分法求函数根的原理为：如果连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$的两个端点取值异号，即$f(a)f(b)<0$，则它在这个区间内至少存在一个根$r$，即$f(r)=0$​。

二分法的步骤为：

• 检查区间长度，如果小于给定阈值，则停止，输出区间中点$(a+b)/2$；否则
• 如果$f(a)f(b)<0$则计算中点的值$f((a+b)/2)$；
• 如果$f((a+b)/2)$正好为0，则$(a+b)/2$就是要求的根；否则
• 如果$f((a+b)/2)$与$f(a)$同号，则说明根在区间$[(a+b)/2,b]$，令$a=(a+b)/2$，重复循环；
• 如果$f((a+b)/2)$与$f(b)$同号，则说明根在区间$[a,(a+b)/2]$，令$b=(a+b)/2$，重复循环。

本题目要求编写程序，计算给定3阶多项式$f(x)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$在给定区间$[a,b]$内的根。

输入格式

输入在第一行中顺序给出多项式的4个系数$a_3$、$a_2$、$a_1$、$a_0$，在第2行中顺序给出区间端点$a$和$b$。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。

输出格式

在一行中输出该多项式在该区间内的根，精确到小数点后2位。

输入样例

3 -1 -3 1
-0.5 0.5

输出样例

0.33

分析与答案

看上去需要处理的系数比较多，也比较复杂，但是具体的步骤已经在题干中写得很清楚了，下面的程序将二分法的步骤和多项式的计算都写成一个单独的函数，从而让程序好看一点。

题目还包含一个隐藏条件。对于输入的多项式，有理数根可能是不存在的，而输出格式只要求精确到小数点后2位，意味着当这个区间的长度小于0.01时就可以将此时的区间中点输出为答案。

#include <stdio.h>
#define LENGTH 0.01

double func(double a3, double a2, double a1, double a0, double x);
double divide(double a3, double a2, double a1, double a0, double l,double r);
int main(){
    double a3,a2,a1,a0,l,r,res;
    scanf("%lf %lf %lf %lf",&a3,&a2,&a1,&a0);
    scanf("%lf %lf",&l,&r);
    res = divide(a3,a2,a1,a0,l,r);
    printf("%.2lf",res);
    return 0;
}
double divide(double a3, double a2, double a1, double a0, double l, double r){
    double mid;
    double func_mid,func_l,func_r;
    while(1){
        mid = (double) (l+r)/2;
        if(r-l < LENGTH)
            //区间小于指定值,退出循环
            return mid;
        //题目保证存在唯一单根，直接计算中点值
        func_mid = func(a3,a2,a1,a0,mid);
        if(func_mid == 0)
            //中点值为0，退出循环
            return mid;
        else{
            func_l = func(a3,a2,a1,a0,l);
            func_r = func(a3,a2,a1,a0,r);
            if(func_mid*func_l > 0){
                l = mid;
                continue;
            }
            else{
                r = mid;
                continue;
            }
        }
    }
}
double func(double a3, double a2, double a1, double a0, double x) {
    return (double) a3*x*x*x+a2*x*x+a1*x+a0;
}